Dasar Elektronika Digital

Sistem Bilangan dan Aritmatika Biner

1).  Sistem desimal dan biner

Dalam  sistem   bilangan  desimal,  nilai  yang terdapat  pada kolom ketiga pada Tabel 1.1. yaitu A, disebut satuan, kolom kedua  yaitu  B  disebut  puluhan,  C  disebut  ratusan,  dan seterusnya.  Kolom  A,  B,  C  menunjukkan  kenaikan  pada eksponen dengan basis 10 yaitu 10⁰ = 1, 10¹  = 10, 10²  = 100. Dengan cara  yang  sama,  setiap  kolom  pada  system bilangan  biner,  yaitu  sistem  bilangan  dengan  basis 2, menunjukkan eksponen dengan basis 2, yaitu 2⁰  = 1, 2¹  = 2, 2²  = 4, dan seterusnya.

Tabel 1.1. Nilai Bilangan Desimal dan Biner

 

Setiap digit biner disebut bit; bit paling kanan disebut least significant  bit (LSB),  dan  bit paling  kiri disebut most significant bit (MSB).

Tabel 1.2. Daftar Bilangan Desimal dan Bilangan Biner Ekivalensinya

 

Untuk  membedakan  bilangan  pada  sistem  yang  berbeda digunakan  subskrip.  Sebagai  contoh  9₁₀    menyatakan bilangan  sembilan  pada  sistem  bilangan  desimal,  dan 01101₂    menunjukkan  bilangan  biner  01101.  Subskrip tersebut sering diabaikan jika sistem bilangan yang dipakai sudah jelas.

Tabel  1.3.  Contoh  Pengubahan  Bilangan  Biner  menjadi Desimal

 

Konversi Desimal ke Biner

Cara untuk mengubah bilangan desimal ke biner adalah dengan pembagian. Bilangan desimal yang akan diubah secara  berturut-turut dibagi  2,  dengan  memperhatikan sisa pembagiannya. Sisa pembagian akan bernilai 0 atau 1,  yang  akan  membentuk  bilangan  biner  dengan  sisa yang  terakhir  menunjukkan  MSBnya.  Sebagai  contoh, untuk  mengubah  52₁₀ menjadi  bilangan  biner, diperlukan langkah-langkah berikut :

52 : 2   =   26 sisa 0, LSB

26 : 2   =   13 sisa 0

13 : 2   =     6 sisa 1

6 :  2    =    3 sisa 0

3 : 2     =    1 sisa 1

1 : 2     =    0 sisa 1, MSB

Sehingga  bilangan  desimal  52₁₀ akan  diubah  menjadi bilangan biner 110100.

Cara  di  atas  juga  bisa  digunakan  untuk mengubah sistem  bilangan  yang  lain,  yaitu  oktal  atau heksadesimal.

2).  Bilangan Oktal

                                            

Bilangan  Oktal  adalah  sistem  bilangan  yang  berbasis  8 dan mempunyai delapan simbol bilangan yang berbeda : 0,1,2,….,7. Teknik pembagian yang berurutan dapat digunakan untuk mengubah  bilangan  desimal  menjadi  bilangan  octal. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi  dengan  8  dan  sisa  pembagiannya  harus  selalu dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 5819₁₀ ke oktal, langkah-langkahnya adalah :

  5819 : 8  = 727,  sisa 3, LSB

  727 :  8   = 90,     sisa 7

  90 :  8    = 11,      sisa 2

  11 :  8    = 1,        sisa 3

  1 : 8       = 0,        sisa 1, MSB

Sehingga 5819₁₀  = 13273₈

Bilangan Oktal dan Biner

Setiap  digit  pada  bilangan  oktal  dapat  disajikan dengan 3 digit bilangan biner, lihat Tabel 1.2. Untuk mengubah  bilangan  oktal  ke  bilangan  biner,  setiap digit  oktal  diubah  secara  terpisah.  Sebagai  contoh, 3527₈  akan diubah sebagai berikut:

3₈  = 011₂  , MSB

5₈   = 101₂

2₈  = 010₂                                                                                                                                    

7₈  = 111₂  , LSB

Sehingga bilangan oktal 3527 sama dengan bilangan 011 101 010 111.

Sebaliknya,  pengubahan  dari  bilangan  biner  ke bilangan  oktal  dilakukan  dengan  mengelompokkan setiap tiga digit biner dimulai dari digit paling kanan, LSB.  Kemudian,  setiap  kelompok  diubah  secara terpisah  ke  dalam  bilangan  oktal.  Sebagai  contoh, bilangan  11 110 011 001₂  akan  dikelompokkan  menjadi 11 110 011 001, sehingga.

   11₂    = 3₈  , MSB

   110₂  = 6₈

   011₂  = 3₈

   001₂  = 1₈  , LSB

Jadi,  bilangan  biner  11110011001  apabila  diubah menjadi bilangan oktal akan diperoleh 3631₈

 .

3).  Bilangan Hexadesimal

Bilangan  heksadesimal,  sering  disingkat  dengan  hex, adalah  bilangan  dengan  basis  16, dan mempunyai 16₁₀ simbol yang berbeda, yaitu 0 sampai dengan 15.

Bilangan yang lebih besar dari 15₁₀  memerlukan lebih dari satu digit hex. Kolom heksadesimal menunjukkan eksponen  dengan basis 16, yaitu 16⁰  = 1, 16¹  = 16, 16²  = 256, dan seterusnya. Sebagai contoh :

152B₁₆ = (1 x 16³ ) + (5 x 16² ) + (2 x 16¹ ) + (11 x 16⁰)

            = 1 x 4096 + 5 x 256 + 2 x 16 + 11 x 1

            = 4096 + 1280 + 32 + 11

            = 5419₁₀

Sebaliknya,  untuk  mengubah  bilangan  desimal  menjadi bilangan  heksadesimal, dapat  dilakukan  dengan  cara membagi  bilangan  desimal  tersebut  dengan  16.  Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 3409₁₀  menjadi bilangan heksadesimal,  dilakukan  dengan  langkah-langkah  sebagai berikut :

  3409/16  = 213, sisa   1₁₀ = 1₁₆  , LSB

  213/16 =   13,  sisa   5₁₀ = 5₁₆

  13/16  =    0, sisa 13₁₀ = D₁₆  , MSB

Sehingga, 3409₁₀ = D51₁₆ .

Bilangan Hexadesimal dan Biner

Setiap digit pada bilangan heksadesimal dapat disajikan dengan empat buah bit.

Untuk  mengubah  bilangan  heksadesimal  menjadi bilangan biner, setiap digit dari bilangan heksadesimal diubah  secara  terpisah  ke  dalam  empat  bit  bilangan biner. Sebagai contoh, 2A5C₁₆  dapat diubah ke bilangan  biner sebagai berikut.

  2₁₆  =  0010, MSB

  A₁₆  = 1010

  5₁₆  =  0101

  C₁₆ = 1100, LSB

Sehingga,  bilangan  heksadesimal  2A5C  akan  diubah menjaid bilngan biner 0010 1010 0101 1100.

Sebaliknya,  bilangan  biner  dapat  diubah  menjadi bilangan  heksadesimal  dengan  cara  mengelompokkan setiap empat digit dari bilangan biner tersebut dimulai dari  sigit  paling  kanan.  Sebagai  contoh, 0100111101011100₂  dapat dikelompokkan menjadi 0100  1111 0101 1110. Sehingga:

0100₂ = 4₁₆  , MSB

1111₂ = F₁₆

0101₂ = 5₁₆

1110₂ = E₁₆  , LSB

Dengan  demikian,  bilangan  0100  1111  0101  1110₂   = 4F5E₁₆.

4). Bilangan Biner Pecahan

Dalam sistem bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin  besar,  dan  digit-digit  yang  berada  di  sebelah kanan titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil. Sehingga

  0.1₁₀  = 10^-1   = 1/10

  0.01₁₀  = 10^-2 = 1/100

   0.2     =  2 x 0.1  = 2 x 10^-1  , dan seterusnya.

Cara  yang  sama  juga  bisa  digunakan  untuk  menyajikan bilangan biner pecahan. Sehingga,

  0.1₂    = 2^-1  =  ½, dan

  0.01₂   = 2^-2 = ½^{- 2}   = ¼

Sebagai contoh,

0.111₂    =   ½ + ¼ + 1/8

               =   0.5 + 0.25 + 0.125

               = 0.875₁₀

101.101₂    =  4 + 0 + 1+ ½ + 0 + 1/8

                   =  5 + 0.625

                   =  5.625₁₀

Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner dapat dilakukan  dengan  cara  mengalihkan  bagian  pecahan  dari bilangan desimal tersebut dengan 2, bagian bulat dari hasil perkalian  merupakan  pecahan  dalam  bit  biner.  Proses perkalian  diteruskan  pada  sisa  sebelumnya  sampai  hasil perkalian  sama  dengan  1  atau  sampai  ketelitian  yang diinginkan.  Bit  biner  pertama  yang  diperoleh  merupakan MSB  dari  bilangan  biner  pecahan.  Sebagai  contoh,  untuk mengubah  0.625₁₀   menjadi  bilangan  biner  dapat dilaksanakan dengan :

        0.625 x 2  = 1.25, bagian bulat = 1 (MSB), sisa = 0.25

        0.25 x 2    = 0.5, bagian bulat  = 0, sisa = 0.5

        0.5 x 2      = 1.0,  bagian bulat = 1 (LSB), tanpa sisa

        Sehingga, 0.625₁₀    = 0.101₂

5).  Sistem Bilangan BCD

Sampai  saat  ini  kita  hanya  melihat  pengubahan  dari bilangan  desimal ke bilangan  biner  murni. Pada beberapa aplikasi, misalnya sistem berdasar mikroprosesor, seringkali lebih sesuai  apabila  setiap  digit  bilangan  desimal  diubah menjadi  4  digit  bilangan  biner.  Dengan  cara  ini,  suatu bilangan desimal 2 digit akan diubah menjadi dua kelompok empat  digit  bilangan  biner,  sehingga  keseluruhannya menjadi  8  bit,  tidak  bergantung  pada  nilai  bilangan desimalnya sendiri. Hasilnya sering disebut sebagai binary-coded  decimal  (BCD).  Penyandian  yang  sering  digunakan dikenal  sebagai  sandi  8421  BCD.  Selain  penyandian  8421 BCD, juga dikenal sejumlah penyandian yang lain.

Contoh

Ubah 25 menjadi bilangan BCD

Penyelesaian

2₁₀    =  0010  dan

5₁₀    =  0101

Sehingga, 25₁₀    = 0010  0101 BCD

Aritmatika Biner

a).  Penjumlahan Biner

Penjumlahan  bilangan  biner  serupa  dengan penjumlahan pada bilangan desimal. Dua bilangan yang akan dijumlahkan disusun secara vertikal dan digit-digit yang  mempunyai  signifikansi  sama  ditempatkan  pada kolom yang sama. Digit-digit ini kemudian dijumlahkan dan jika dijumlahkan lebih besar dari bilangan basisnya (10 untuk desimal, dan 2 untuk   biner), maka ada bilangan  yang  disimpan.  Bilangan  yang  disimpan  ini kemudian dijumlahkan dengan digit di sebelah kirinya, dan  seterusnya.  Dalam  penjumlahan  bilangan  biner, penyimpanan  akan  terjadi  jika  jumlah  dari  dua  digit yang dijumlahkan adalah 2.

Berikut adalah aturan dasar untuk penjumlahan  pada sistem bilangan biner.

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 0, simpan 1

Tabel  1.4.  menunjukkan  perbandingan  antara penjumlahan pada sistem bilangan desimal dan system bilangan  biner,  yaitu  823₁₀  + 238₁₀   dan 11001₂   +  11011₂.

Tabel 1.4.   Penjumlahan

 

Marilah  kita  perhatikan  penjumlahan  biner  dengan  lebih  seksama.

Kolom satuan   : 1 + 1 = 0, simpan 1

Kolom 2-an      :  0 + 1 = yang disimpan = 0, simpan 1

Kolom 4-an      :  0 + 0  yang disimpan = 1

Kolom 8-an       : 1 + 1 = 0, simpan 1

Kolom 16-an     : 1 + 1 yang disimpan  = 1, simpan 1

Kolom 32-an     :  yang disimpan 1 = 1

Jika  lebih dari dua buah digit biner dijumlahkan, ada kemungkinan  yang  disimpan  lebih  besar  dari  1.  Sebagai contoh,

1 + 1 = 0, simpan 1

1 + 1 + 1 = 1, simpan 1

Contoh  berikut  menunjukkan  penjumlahan  dengan penyimpanan lebih besar dari 1.

 1 + 1 + 1 + 1   =  (1 + 1) + (1 + 1)

                         =  (0, simpan 1) + (0, simpan 1)

                         =  0, simpan 2;

1 + 1 + 1 + 1 + 1  =  1 + (1 + 1) + (1 + 1)

                             = 1, simpan 2

           0 + yang disimpan 2 = 1, simpan 1

           1 + yang disimpan 2 = 0, simpan 2, dan seterusnya.

b).  Pengurangan Biner

Pada  bagian  ini  hanya  akan  ditinjau  pengurangan bilangan biner yang memberikan hasil positif. Dalam hal ini, metode yang digunakan adalah sama dengan metode yang  digunakan  untuk pengurangan  pada  bilangan desimal.  Dalam  pengurangan  bilangan  biner  jika  perlu dipinjam 1 dari kolom di sebelah kirinya, yaitu kolom yang mempunyai derajat lebih tinggi.  Aturan  umum  untuk  pengurangan  pada  bilanagan  biner adalah sebagai    berikut :

  0 – 0 = 0

  1 – 0 = 1

  1 – 1 = 0

  0 – 1 = 1, pinjam 1

Contoh : Kurangilah 1111₂    dengan 0101₂

Penyelesaian

Susunlah  dua bilangan  di atas  ke  dalam kolom  sebagai berikut :

 

Secara lebih rinci, dimulai dari LSB (2⁰   = 1)

Kolom 2⁰   1 – 1 = 0

Kolom 2¹  1 – 0 = 1

Kolom 2²  1 – 0 = 0

Kolom 2³  1 – 0 = 1

Sehingga, 1111₂   – 0101₂  = 1010₂

Contoh   Kurangilah 1100₂  dengan 1010₂

Penyelesaian

Secara lebih terinci, dimulai dari LSB (2⁰ = 1)

Kolom 2⁰  0 – 0  = 0

Kolom 2¹  0 – 1  = 1

Dalam kasus ini kita harus meminjam 1 dari bit pada kolom 2² . Karena datang  dari kolom 2², maka nilainya 2  kali nilai pada kolom 2¹ . Sehingga, 1 (bernilai 2² ) – 1  

(bernilai 2¹ ) = 1 (bernilai 1²).

Bila meminjam 1 dari kolom di sebelah kiri maka berlaku aturan umum 1 – 1 = 1.

Kolom 2²    0 – 0 = 0

Nilai  1 dari  kolom 2 diubah menjadi nol karena sudah dipinjam seperti yang ditunjukkan dengan anak panah.

Kolom 2³  1 – 1 = 0

Sehingga, 1100₂  – 1010₂  = 0010₂

c).  Bilangan Biner Bertanda

Sejauh ini kita hanya melihat bilangan biner   positif atau bilangan  biner  tak  bertanda.  Sebagai contoh  bilangan biner 8-bit dapat mempunyai nilai antara : 0000 0000₂   = 00₁₀  dan 1111 1111₂  = 255₁₀ yang  semuanya  bernilai  positif,  tanda  ‘-‘  diletakkan  di sebelah  kiri  bilangan  desimal,  misalnya  –25₁₀. Dalam sistem bilangan biner, tanda bilangan (yaitu negatif) juga disandikan dengan  cara  tertentu  yang  mudah  dikenal dengan sistem digital. Untuk menyatakan bilangan negatif pada bilangan biner, bit yang dikenal dengan   bit tanda bilangan (sign bit) ditambah di sebelah kiri MSB. Bilangan biner yang ditulis dengan cara di atas menunjukkan tanda dan besarnya  bilangan.  Jika  bit tanda  ditulis  0, maka bilangan  tersebut  positif,  dan  jika  ditulis  1,  bilangan tersebut  adalah  bilangan  negatif.  Pada  bilangan  biner bertanda  yang  terdiri  dari  8-bit,  bit  yang  paling  kiri menunjukkkan besarnya.

Perhatikan   contoh berikut :

 

Maka,   0110 0111 =  +(64+32+4+2+1) = +103₁₀

             1101 0101 =  -(64+16+4+2) = - 85₁₀

             1001 0001 =  -(16 + 1) = -19₁₀

             0111 1111 =  +(64+32+16+8+4+2+1) = +127₁₀

             1111 1111 =  -(64+32+16+8+4+2+1) = - 127₁₀

            1000 0000 = -0 = 0

            0000 0000 = +0 = 0

Dari  contoh  diatas  dapat  dilihat,  bahwa  hanya  karena tujuh  bit   yang menunjukkan  besarnya, maka bilangan terkecil  dan  terbesar  yang  ditunjukan  bilangan  biner bertanda yang terdiri dari 8-bit adalah :

     [1]111 11112 = - 127₁₀  dan

     [0]111 11112 = + 127₁₀

Dengan  bit  dalam  kurung  menunjukkan  bit  tanda bilangan.

Secara  umum,  bilangan  biner  tak  bertanda  yang  terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2 ⁿ  – 1. Sementara itu, untuk bilangan bertanda yang terdiri dari n-bit mempunyai nilai maksimum M = 2 ^n-1   – 1. Sehingga, untuk  register  8-bit di  dalam   mikroprosesor  yang menggunakan  sistem  bilangan  bertanda,  nilai  terbesar yang bisa disimpan dalam register tersebut adalah :

       M   = 2^(n-1)   – 1

              = 2^(8-1)   – 1

              = 2⁷   - 1

              = 128₁₀   – 1

              = 127₁₀

sehingga mempunyai jangkauan – 127₁₀  sampai +127₁₀.

d).  Perkalian

Perkalian pada bilangan biner mempunyai aturan sebagai berikut :

          0 x 0 = 0

          1 x 0 = 0

          0 x 1 = 0

          1 x 1 = 1

Perkalian bilangan biner dapat dilakukan seperti perkalian bilangan  desimal.  Sebagai  contoh,  untuk  mengalikan 1110₂  = 14₁₀   dengan 1101₂  = 13₁₀   langkah-langkah yang  harus ditempuh adalah :

 

Perkalian juga bisa dilakukan dengan menambah bilangan yang dikalikan ke bilangan itu sendiri sebanyak bilangan pengali.

Contoh di atas, hasil yang sama akan diperoleh dengan menambahkan  111₂   ke bilangan itu  sendiri sebanyak  1101₂   atau tiga belas kali.

e).  Pembagian

Pembagian  pada  sistem  bilangan  biner  dapat dilakukan  sama  seperti  contoh  pembagian  pada  sistem bilangan desimal. Sebagai contoh, untuk membagi 110011 (disebut  bilangan  yang  dibagi)  dengan  1001  (disebut pembagi), langkah-langkah berikut perlu dilakukan.

 

Sehingga hasilnya adalah 101₂ , dan sisa pembagian adalah  110₂.

Pembagian bisa juga dilakukan   dengan cara menjumlahkan secara berulang kali bilangan pembagi dengan bilangan itu sendiri  sampai  jumlahnya  sama  dengan  bilangan   yang dibagi  atau  setelah  sisa  pembagian  yang  diperoleh  lebih kecil dari bilangan pembagi.

Rangkuman

1.            Bilangan desimal adalah sistem bilangan yang berbasis 10 dan  mempunyai  sembilan  simbol  bilangan  yang  berbeda :  0,1,2,3,4...,9.

2.            Bilangan biner adalah sistem bilangan yang berbasis 2 dan mempunyai 2 simbol bilangan yang berbeda :  0 dan 1.

3.            Bilangan octal adalah sistem bilangan yang berbasis 8 dan mempunyai 8 simbol bilangan yang berbeda.:  0,1,2,3,...,7.

4.            Bilangan  hexa  desimal  adalah  sistem  bilangan  yang berbasis 16 dan mempunyai simbol bilangan yang berbeda.:  0,1,2,3,...9,a,b,c,d,e,f.

5.            Setiap digit biner disebut bit; bit paling kanan disebut least significant  bit  (LSB),  dan  bit  paling  kiri  disebut  most significant bit (MSB)